ALJABAR LINEAR : DETERMINAN

Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur -unsur suatu matriks persegi.

Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Determinan matriks dapat ditemukan dalam matriks persegi ordo 2x2 dan 3x3.

Determinan Matriks Ordo 3x3 Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu kaidah Sarrus dan ekspansi kofaktor. Namun, cara yang paling sering digunakan dalam menentukan determinan matriks ordo 3x3 adalah dengan kaidah Sarrus. Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

 1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan. 

2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemenelemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping. 

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i) 

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i).

Sifat-Sifat Determinan adalah : 

1. Jika setiap elemen suatu baris atau kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0. 

2. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (A T). 

3. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A). 

4. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A). 

5. Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0 Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain. 

6. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B). 

Menentukan determinan matriks n x n dengan matriks Kofaktor 

•a. Minor dari suatu matriks bujur sangkar A adalah harga determinan sub matriks yang tetap, setelah menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan dengan Mij. 

•b. Kofaktor dari suatu matriks bujur sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu cij= (-1)i+jMij

 Menentukan determinan matriks n x n dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

 •a. Menukarkan dua baris Notasi = bij Arti = menukarkan baris ke-i dgn baris ke-j 

•b. Mengalikan suatu bari dengan skalar k, k ≠ 0 Notasi = k.bi Arti = mengalikan setiap elemen dari baris ke- i, dengan skalar k, k ≠ 0

 •c. Menambahkan baris ke- i dengan k kali baris ke- j (k ≠ 0) 

Notasi= bij(k) 

Arti = bi + k bj(Perubahan terjadi pada bi). 

Menentukan Determinan Matriks dengan TBE Langkah : 

•a. Dengan menggunakan TBE, ubahlah matriks yang ada, menjadi Matriks Segitiga Atas / Bawah. 

•b. Harga determinannya adalah perkalian antar elemen–elemen pada diagonal utamanya.